Moment Generating Function of Normal

MGF,

\[M_X(t) = \mathbb E[e^{tX}], t\in \mathbb R\]

For \(X\sim N(\mu, \sigma^2)\),

\[\begin{aligned} M_X(t) &= \int_{-\infty}^\infty{e^{tx} \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}}dx \\ &= \int_{-\infty}^\infty{e^{t(a\sigma + \mu)} \frac{1}{\sqrt{2\pi} }e^{-\frac{a^2}{2}}}da \qquad \text{substitute x to a} \\ &= \int_{-\infty}^\infty{ \frac{1}{\sqrt{2\pi} } \exp{ \left( \frac{-(a-\sigma t)^2 +\sigma^2t^2+2\mu t}{2} \right)} }da \\ &= \exp { \left(\mu t + \frac{\sigma^2t^2}{2} \right)} \int_{-\infty}^\infty{ \frac{1}{\sqrt{2\pi} } \exp{ \left( \frac{-(a-\sigma t)^2}{2} \right)} }da \qquad \text{by the fact that gaussian cdf = 1} \\ &= \exp { \left(\mu t + \frac{\sigma^2t^2}{2} \right)} \end{aligned}\]

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探讨美式看涨不提前行权、看跌可能提前行权的原因。

在学习使用二叉树后,通过 backward induction,在每一步对行权价值和期望价值进行比较,即可确定是否提前行权。

期权平价公式

\(t = 0 时刻\),到期日为 \(T\) 的欧式期权满足以下关系

\[ P + S = C + Ke^{-r\Delta T}\]

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Summary

实物期权的期权性带来的价值。

区分 non-financial uncertainty 和 financial uncertainty 并对应使用真实概率和风险中性概率。

资产定价为何不应使用 deterministic discounting factor 而应使用 stochastic discounting factor。定价 pricing kernel。Remind me of kernel methods and monte carlo...

\[p = E[mx]\]

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链接

http://www.columbia.edu/~mh2078/FoundationsFE/Assign7.pdf

(The Deflated Gains Process is a Q-martingale)

已知 \[dS_t = (r-q)S_tdt + \sigma S_tdW_t^Q\] 求证 \[S_0 = E_0^Q \left[ \int_0^T e^{-rt}qS_tdt + e^{-rT}S_T \right]\]

观察形式,就是含息债券的定价公式而已,用 \(r\) 贴现。

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Black Scholes Model

PDE

首先假设 股价 \(S_t\) 是一个几何布朗运动

\[dS_t = \mu S_tdt + \sigma S_t dW_t\]

考虑欧式期权 \(C(S_t, t)\) 是关于股价的函数。根据伊藤引理

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Summary

short rate 的二叉树模型,假设 q-martingale 的概率是 0.5/0.5。

在利率二叉树中,利率上升与下跌的概率是相同的;而在股票二叉树模型中,上涨下跌是由 u d 计算而得。之所以假设利率二叉树上升下降概率相同是因为利率由均值复归的特性。

利率二叉树和yield curve是对应的。如果使用BDT或Ho-Lee这样的二叉树,需要对参数进行校准。

从无息债券定价的 backward evaluation 开始,回溯法是通用的方法;在此基础上以债券为标的的衍生品的定价...

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回顾:非齐次线性方程组的解与矩阵的列秩

假设 \(A: (m\times n), x:(n), b:(m)\)\(Ax = b\)

若方程组有解,则 \(b\)\(A\) 的列向量的线性组合。

如果 \(A\) 的列秩大于等于 \(m\)\(A\) 的列向量能够张成 \(\mathbb{R}^m\),则对于任意 \(b\)\(Ax=b\) 有解。

典型的 \(m\times m\) 满秩矩阵 \(A\) 可逆, \(Ax=b\) 有唯一解 \(A^{-1}b\)

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简要

学习 鞅定价 (margingale pricing) 之前,

Put-call parity of european options 欧式期权平价。

Replication portfolio for pricing the European call 复制组合 + 无套利是推导欧式期权定价的方法。

binomial tree for pricing the American put 二叉树方法定价期权,美式看跌期权可以提前行权。

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利率理论

  • 复利 compounded interest \[\lim_{n\to \infty} A(1+r/n)^{mn} = Ae^{rm}\]

  • “七二定律”: \[e^{rm} = 2 \\ rm = \ln2 \\ m = \frac{\ln2}{r} = \frac{0.72}{r}\]

  • 有效利率 effective interest rate,实际复合年利率

  • Gordon Growth Model \[V_0 = \frac{D_1}{r-g}\]

公司估值;成长股价格估计。缺点是假设现金流固定。

固收证券

如息票债券。受利率影响较大。可转股债券兼具固收和非固收的特征。

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