利率理论
复利 compounded interest \[\lim_{n\to \infty} A(1+r/n)^{mn} = Ae^{rm}\]
“七二定律”： \[e^{rm} = 2 \\ rm = \ln2 \\ m = \frac{\ln2}{r} = \frac{0.72}{r}\]
有效利率 effective interest rate，实际复合年利率
Gordon Growth Model \[V_0 = \frac{D_1}{r-g}\]
公司估值；成长股价格估计。缺点是假设现金流固定。
固收证券
如息票债券。受利率影响较大。可转股债券兼具固收和非固收的特征。
年金，永续年金和摊销
\(n\) 期年金，每期支付 \(A\) 的现价 \[P = \frac Ar \bigg(1-\frac1{(1+r)^n}\bigg)\]
YTM 到期收益率
到期收益率使债券未来现金流的现值等于现价，即IRR。
Macauley Duration 麦考利久期
按现金流量折现值加权的支付日期。
\[D = \frac{\sum_{k=1}^{n}{(k/m)c_k/[1+(\lambda / m)]^k}}{P}\]
修正久期\(D_M\)是P关于YTM的一阶导 / P: \[D_M = \frac1P \frac{dP}{d\lambda}\]
麦考利久期 \(D\) 与修正久期 \(D_M\) 的关系是
\[D_M = \frac D {1+ \lambda/m}\]
Convexity 凸性
凸性与YTM二阶导有关。
\[C = \frac1P \frac{d^2P}{d\lambda^2}\]
Immunization 久期免疫
\[\begin{aligned} P(\lambda+\Delta \lambda) &\approx P(\lambda) + \Delta \lambda \frac{dP}{d\lambda}(\lambda) + \frac{(\Delta \lambda)^2}{2}\frac{d^2P}{d\lambda^2}(\lambda) \\ &= P(\lambda) - D_M P(\lambda) \Delta \lambda + \frac{P(\lambda)C}{2} (\Delta \lambda)^2 \end{aligned}\]
这个二阶泰勒展开告诉我们当YTM有细微变化时，可以通过增加债券到投资组合实现现价不变。
考虑一系列债券的投资组合，其现价、久期、凸性满足
\[\begin{aligned} P_p &= \sum{P_k} \\ D_p &= \sum{\frac{P_k}{P_p}D_k}\\ C_p &= \sum{\frac{P_k}{P_p}C_k} \end{aligned}\]
这是一个包含三个等式的线性方程组。投资组合中只需要3种债券即可满足方程组有解。
\[\begin{bmatrix}P_o \\ D_o \\ C_o \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 &1 &1 \\ \frac{D_1}{P_o} & \frac{D_2}{P_o} & \frac{D_3}{P_o} \\ \frac{C_1}{P_o} & \frac{C_2}{P_o} & \frac{C_3}{P_o} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} P_1 \\ P_2 \\ P_3 \end{bmatrix}\]
然而以上结论基于的假设是 YTM "flat"， 并且 "only parallel shifts in interest rates" 即不同的债券的利率变化相同。
案例
Callable Bond
20年可赎回债券，coupon 10%，发行时ytm 10%，5年后决定按1.05赎回，说明5-20的ytm \(\lambda < 9.366\%\) 。案例说明 ytm 会变化。
久期免疫的可套利性
假设原先有一个obligation，生成一个immunization的组合，
\[P(0) = 0\] \[P'(0) = 0 \\ P'(0) (1+r)^2 = 0\]
通过叠加以上两式并加以构造，可以证明
\[P''(0)(1+r)^2 \geq 0\] 则 \(P(0)\) 为 local minimum，无论 \(\lambda\) 如何变动该久期免疫的组合都盈利。那么在假设利率 parallet shift的情境下就可以套利。所以该理论需要改进。
Term Structure of Interest Rates 利率期限结构
即期利率 spot rate
远期利率 forward rate
zero coupon bond 构造无息债券
假设两组债券，通过组合使 coupon rate 为0，得出终值和现价，从而计算出该年限下的即期利率。
利率期限结构理论与缺点
- 预期假说 Expectation Hypothesis：\(f_{i,j} = s_{j-i}\) that prevails at time i。如此收益率曲线应该平坦。
- 市场分隔假说 market segmentation： 购买长期债券和短期债券的人群本质上不同。解释性不强。
- 流动性假说 liquidity preference：长期债券需要对风险做出补偿。
利率期限结构理论下的久期与免疫
从YTM到利率期限结构，久期和凸性仍有定义，并可以免疫利率期限结构整体的平行移动。
案例和应用
浮动利率债券
coupon rate 总等于当期的即期利率，则任意时间价值等同于面值。可以通过从最后一期开始递归来理解。
抵押 Mortgage Mathematics
已知 \(M(0) = M\)，每期付款 \(B\)，\(M(t)\) 表示 \(t\) 时刻剩余总额。
\[M(k) = (1+r) M(k-1) - B \] \[M(k) - \frac Br = (1+r) [M(k-1) - \frac Br] \] \[M(k) = (1+r)^kM + \frac Br[1-(1+r)^k] \] \[M(n) = (1+r)^nM + \frac Br[1-(1+r)^n] = 0\] \[\therefore B = \frac{(1+r)^nMr}{(1+r)^n-1}\]
\[M(k) = M\frac{(1+r)^n - (1+r)^k}{(1+r)^n - 1}\]
本金的付款现金流和利息的付款现金流现值的表达式 \(V\) 和 \(W\): ...
本金 payment stream 的久期长于利息。
动态规划 DP 在 lattice 中的应用
一个二叉树的定价
Yield/Static/Option-Adjusted Spreads 收益率/静态/期权调整后的价差
收益率价差
公司债和国债的 YTM 做差。不能反映利率的期限结构。
静态价差
也叫 Zero-volatility spread / Z-spread 或有效价差。 假定公司债的利率期限结构是国债的利率期限结构整体平移 s 。根据定价和现金流反算出 s。
利率调整价差 OAS
callable / putable 的债含有期权。可以使用 the lattice model 定价，在 lattice 的每个节点加上 OAS。
有效久期和有效凸性
债券含有期权性质(e.g. MBS)，当利率变化时现金流亦有可能变化。