简要
学习 鞅定价 (margingale pricing) 之前，
Put-call parity of european options 欧式期权平价。
Replication portfolio for pricing the European call 复制组合 + 无套利是推导欧式期权定价的方法。
binomial tree for pricing the American put 二叉树方法定价期权，美式看跌期权可以提前行权。
Black-Scholes formula BS 公式。
Forwards 远期
参数：\(t, T, F, S_T, f_T\)
远期价值 value:
\[f_T = \pm(S_T - F)\]
远期价格 price：\(F\)
计算远期的价格 \(F\)
假设 underlying securities stored at 0-cost. storage cost 可以为正，如商品；也可以为负成本，如有派息的股票。
零成本的情况
定义 discounting factor \(d(0,T) < 1\), S 是 security 的 spot price
\[F = S / d(0,T)\]
非零成本的情况
远期价格应当在无成本的情况下加上折现到行权日的成本，因为不用承担期间成本。
如果成本发生在每期期初， \[F = \frac{S}{d(0,M)} + \sum_{j=0}^{M-1} {\frac{c_j}{d(j, M)}}\]
如果成本发生在每期期末， \[F = \frac{S}{d(0,M)} + \sum_{j=0}^{M-1} {\frac{c_j}{d(j+1, M)}}\]
计算远期的价值 \(f_t\)， 当 \(t>0\)
根据无套利，\(f_0 = 0\),
\[f_t = (F_t - F_0) \cdot d(0,t)\]
Tight Markets
含成本的远期价格的计算表明，仓储成本为正的商品，其远期价格 \(F\) 应随 \(M\) 增加而增加， 而事实并非如此。有时商品不能short sell，则松弛此约束，short buy 一份商品以及卖出该商品 forwards 的方法可能可以套利。
\[F \leq \frac{S}{d(0,M)} + \sum_{j=0}^{M-1} {\frac{c_j}{d(j, M)}}\]
convenience yield: 对于持有商品者是一个 negative cost
\[F = \frac{S}{d(0,M)} + \sum_{j=0}^{M-1} {\frac{c_j - y}{d(j, M)}}\]
Swaps 互换
最常见的是利率和货币互换。
去除随机性, floating -> fixed.
利率互换
需规定本金 \(P\), 期数 \(M\), 到期日 \(T\)。
理解多空：
Long the interest rate swap means: pay the counterpart a fixed rate.
Short: floating rate.
货币互换
略
互换的定价
方法：确定现金流 + 无套利。
例：商品互换的定价
\[ C = N \times (0, S_1-X, S_2-X, ..., S_M -X)\]
未来时间点的一系列的商品又等效于N份的远期
\[ V = N \sum_{i=1}^{M}{d(0,i)(F_i-X)}\]
根据无套利，\(X\) 应当满足 \(V=0\)
例：利率互换的定价
\[ C = P \times (0, r_0 - r_f, r_1 - r_f, ..., r_{M-1} - r_f)\]
浮动利率的部分恰好是面值为 \(P\) 的浮动利率债券的派息，所以其贴现值为 \(P \left[1-d(0,M) \right]\)
\[V = P \left[1-d(0,M) - r_f\sum_{i=1}^{M}{d(0,i)}\right]\]
期货 Futures
交易所，标准化合约，相比远期，减少了对手方风险 (counter-party risk)
underlying asset 可以为任意变量，如板球比分。
期货数量会放大变动 - 杠杆 leverage。
保证金 - margin call - 强制平仓 close out
优劣
... 如前所述
期货价格或多或少与标的资产价格线性相关，也有一些非线性风险。
期货价格 / 远期价格 / 即期价格 的关系
鞅定价方法可以解释当利率随机时，如果利率变化和价格变化正相关，期货价格比远期价格高；否则期货价格比远期价格低。
\(F\) 和 \(E[S_T]\) 的关系: 当标的资产 systematic risk 为正，\(F < E[S_T]\). If you sell the futures and long one asset at \(t=0\) , you would bear the risk and on expectation earn \(E(S_T - F) > 0\).
用期货对冲：完全对冲和最小方差对冲 Minimum-Variance Hedges
期货是对冲标的资产线性风险的工具，因为到期日价格 \(S_T\) 线性地影响期货的价值。
完全对冲
销售大宗商品 - 防止价格下跌，提前锁定价格 - 卖出 (sell short) 期货。
完全对冲常常不存在:
- 整数手数
- 标的资产存在差别
- 到期日不完全符合
- 期货价格 \(P_T\) 和标的资产价格不线性。
最小方差对冲
创建一个投资组合，考虑 terminal day 需要对冲的现金流为 \(Z_T\) ，买入 \(h\) 手的期货进行对冲，\(t\) 时刻的期货价格记为 \(F_t\)
\[ Y_T = Z_T + h(F_T - F_0)\]
最小化方差
\[ Var(Y_T) = Var(Z_T) + h^2Var(F_T) + 2hCov(Z_T, F_T)\]
\[h^* = -\frac{Cov(Z_T, F_T)}{Var(F_T)}\]
\[Var(Y_T^*) = Var(Z_T) - \frac{Cov(Z_T, F_T)^2}{Var(F_T)}\]
可以看出完全对冲需要满足的条件是：期货价格与标的资产价格完全线性相关，即没有非线性项。实际上这一条件不成立，所以不存在完全对冲。
\[Var(Z_T)Var(F_T) = Cov(Z_T, F_T)^2\]
\[corr(Z_T, F_T) = \pm 1\]
另一个结论是只要 \(E[F_T] \neq F_0\), \(E[Z_T] \neq E[Y_T^*]\)，对冲就有作用。
例子
假设 \(y = S_T W + (F_T - F_0)h\)。
符号表示 \(\sigma_S^2 = Var(S_T), \sigma_F^2 = Var(F_T), \sigma_{ST} = Cov(S_T, F_T)\)。 \(k\) 是标的资产总价与期货每手价格的比值， \(h = -kw\)
\[\sigma_y = W\sigma_S \sqrt{1+\left(\frac{S_0\sigma_F}{F_0\sigma_S}\right)^2-2\frac{S_0\sigma_{S,F}}{F_0\sigma_S^2}}\]
当 \(S_T, F_T\) 完全正相关，
\[\sigma_y = W\sigma_S(1-\frac{S_0\sigma_{F}}{F_0\sigma_S})\]
通常 \(\sigma_y\) 仍然不是0。但在比例合适的情况下有可能实现完全对冲。
例子：对冲盈利
假设现金流是两个产品利润之和，产品价格中的宏观经济项有几何布朗运动形式，经推导
\[h^* = -Cov(R,S_2)/Var(S_2)\]
动态对冲策略 dynamic hedging strategy
随着时间更新的动态的对冲策略。\(h_2\) 是基于 \(t_1\) 已有信息的函数。
备注
常见的期货市场包括 利率期货 和 股指期货 (equity index futures)。指数期货而非指数本身被用于对冲指数期权。
Roll the hedge forward: 期货到期日比合同日期更前。这样做的风险在于，假设目前市场上的期货合约到期日为 \(T_1 < T_2\)，在 0 时刻卖出一份这样的期货并在 \(T_1\) 时刻平仓，然后在 \(T_1\) 时刻卖出一份 \(T_2\) 到期的期货，在 \(T_2\) 平仓，那么 \(T_2\) 净现金流为:
\[Y_2 = F_1 - S_2\]
\(F_1\)的风险仍然是未知的。
关于期货价格 \(F_t\) 的定价在鞅定价部分讨论。
Intro: 期权和二叉树模型
定义：欧（美）式看涨（跌）期权...
european-call 在 \(t < T\) 的内在价值是 \(\max{\{S_t-K, 0\}}\). european-put 反号。
期权定价的约束边界 (无模型)
标的资产价格 \(S_t\) 是一个随机过程；期权的回报是关于标的资产价格的非线性函数；
因而期权的定价需要建模。但无需模型也能得到一些必要条件。
符号表示： \(C_E(t;K,T)\) 表示欧式看涨在 \(t\) 时刻的价格，行权价\(K\)，到期日\(T\)。
美式期权的价格应不低于欧式期权，因其有更高的自由度。
期权平价(欧式) put-call parity
\[p_E(t;K,T) + S_t = c_E(t;K,T) + Kd(t,T)\]
Wiki: 一份由买入欧式看涨期权和卖出欧式看跌期权组合成的投资组合，其价格等于一份与它们有相同标的资产、行使价与到期日的远期合约的价格。这是因为在到期日，如果资产价格高于行使价，则会执行欧式看涨期权，反之则执行欧式看跌期权。在任一种情况下，都等于用行使价买入一单位标的资产。因此这个投资组合等价于在到期日用行使价买入一单位标的资产的远期合约。在无套利原则下，两者在初始的价格应当等同，此即买卖权平价关系。
分析：
- \(C-P\) 在到期日必然执行其一：
- 若 \(S_T > K\)，则主动执行 call， \(S_T - K\)，盈利
- 若 \(S_T < K\)，则 put 被执行，\(S_T - K\)，损失
- 无论哪一种都等同于成交价为 \(K\) 的远期合约
- 价值等同于 \(S_t - Kd(t,T)\)
对于该证券派息的情况，
\[p_E(t;K,T) + S_t - D = c_E(t;K,T) + Kd(t,T)\]
\(D\) 是所有股利的现值。
假设无派息、\(S_T > K\) 和 \(S_T < K\) 都有正概率 （否则无风险套利）。于是 put 和 call 都有正价格。
\[c_E(t;K,T) = S_t + p_E(t;K,T) - Kd(t,T) > S_t - Kd(t,T)\]
美式期权价格高于欧式
\[c_A(t;K,T) \geq c_E(t;K,T) > \max \{S_t - Kd(t,T),0\} \geq \max\{ S_t - K,0 \}\]
上式表明
- 当\(S_T >/< K\) 都有正的概率 ，无派息股票的 American call 的价格总是严格大于其内在价值。
- American call 提前行权总是不划算的。
- call 是付 \(K\) 得 \(S\)。考虑 \(K\) 的时间价值，晚支付更好。
一阶段二叉树模型 （定价）
一些参数：
- \(R\)：每阶段无风险增长比率。
- \(u, p\)：增长 / 减少比率。
- \(S_0\)：0时刻标的资产价格
无套利要求
\[d<R<u\]
复制组合定价
假设买入x份 股票和持有y份现金，\(T\)时刻对应有两种实际收益 \(C_u, C_d\)。
\[uS_0x + Ry = C_u\] \[dS_0x + Ry = C_d\]
\[\begin{bmatrix}u &R \\d &R\end{bmatrix} \begin{bmatrix}S_0x \\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}C_u \\C_d\end{bmatrix}\]
\(0\) 时刻复制组合的定价，也就是该看涨期权的定价
\[\begin{aligned} S_0x + y &= \begin{bmatrix}1 &1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}S_0x \\y\end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix}1 &1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}u &R \\d &R\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}C_u \\C_d\end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix}1 &1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\frac{1}{u-d} &-\frac{1}{(u-d)} \\-\frac{d}{R(u-d)} &\frac{u}{R(u-d)} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}C_u \\C_d\end{bmatrix} \\ &= C_u\frac{R-d}{R(u-d)} + C_d\frac{u-R}{R(u-d)} \\ &= \frac1R \left[ C_u \frac{R-d}{u-d} + C_d \frac{u-R}{u-d} \right] \\ &= \frac1R \left[ qC_u + (1-q)C_d \right] \\ &= \frac1R E_0^Q[C_1] \end{aligned}\]
定义
\[q = \frac{R-d}{u-d}\]
以上称为风险中性定价 risk-neutral pricing，\(q, (1-q)\) 称为风险中性概率。
可以看出给期权定价用到的风险中性概率是由 \(u,d,R\) 决定的，而不是由二叉树本身的概率分布 \(p\) 决定。
多阶段二叉树模型
多阶段不过是一阶段的多次叠加。最终结果的概率分布是二项分布（binomial distribution）。
\(c_E\) 的定价
借助公式
\[C_0 = \frac1{R^3}E_0^Q[\max{S_T-K, 0}]\]
可以略去二叉树中间节点的繁琐计算。
\(p_A\) 的定价
\(c_A\) 不提前行权，等同于 \(c_E\)
美式的二叉树从最末端出发，每个节点处定价取 风险中性定价 和 内在价值的较大值
\[ V_t(S) = \max{\left[K-S， \frac1RE_t^Q[V_{t+1}(S_{t+1})] \right] }\]
几何布朗运动校正后的二叉树模型
具体解释了为什么风险中性概率 \(q\) 与上升概率 \(p\) 无关，而仅与 \(u,d,R\) 有关。