探讨美式看涨不提前行权、看跌可能提前行权的原因。
在学习使用二叉树后，通过 backward induction，在每一步对行权价值和期望价值进行比较，即可确定是否提前行权。
期权平价公式
\(t = 0 时刻\)，到期日为 \(T\) 的欧式期权满足以下关系
\[ P + S = C + Ke^{-r\Delta T}\]
标的资产不付息的期权
American call 不提前行权
根据期权平价公式，以及美式期权比欧式期权价高的性质，
\[\begin{aligned} C_A \geq C_E &= P_E + S - Ke^{-r \Delta T} \\ &= P_E + (S - K) + K(1-e^{-r \Delta T}) \\ & \geq S-K \end{aligned}\]
如果美式期权提前行权（默认 \(S>K\)），仅获得了 \(S-K\) 的收益。第三项表示行权价格在提前行权日期到到期日之间的时间价值：早付则损失这笔现金产生的利息。
可见美式看涨期权提前行权总是不划算的，不如直接卖掉。
American put 提前行权的情况
\[\begin{aligned} P_A \geq P_E &= C_E - S + Ke^{-r \Delta T} \\ &= C_E + (K - S) - K(1-e^{-r \Delta T}) \end{aligned}\]
提前行权的所得自然就是 \(K-S\)。我们关心什么时候提前行权可能更划算 （因为 \(P_A > P_E\) 所以不能保证更划算）。
以下情况，\(C_E- K(1-e^{-r \Delta T}) < 0\)，提前行权可能有利
- 看跌期权深度实值，\(C_E = 0\)
- r 较大。可以理解为提前行权后再投资无风险资产收益高。
标的资产付息的期权
深度实值 (deep in-the-money) 的 American call / put 提前行权可能有利
\[C_A \geq P_E + (S - K) + K(1-e^{-r \Delta T}) -D\]
\[P_A \geq C_E + (K - S) - K(1-e^{-r \Delta T}) +D\]
- 对于 American call， 付息后资产价格下降，这种情况下，在付息前行权更有价值
- 对于 American put， 因为深度实值，其标的资产的息率可能低于无风险利率，应当提前行权