Black Scholes Model
PDE
首先假设 股价 \(S_t\) 是一个几何布朗运动
\[dS_t = \mu S_tdt + \sigma S_t dW_t\]
考虑欧式期权 \(C(S_t, t)\) 是关于股价的函数。根据伊藤引理
\[\begin{aligned} dC &= \frac{\partial C}{\partial t} dt + \frac{\partial C}{\partial S} dS + \frac12 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(dS)^2 \\ &= dt\left( \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{\partial C}{\partial S}\mu S + \frac12 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}\sigma^2S^2 \right) + \frac{\partial C}{\partial S}\sigma S_t dW_t \end{aligned}\]
考虑一个离散化的区间 \(\Delta t\):
\[\Delta C = \Delta t\left( \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{\partial C}{\partial S}\mu S + \frac12 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}\sigma^2S^2 \right) + \frac{\partial C}{\partial S}\sigma S_t \Delta W_t\]
考虑构建一个组合 \(P = -C + \frac{\partial C}{\partial S}S\)，这样布朗运动项就被对冲掉；根据鞅定价理论，组合 \(P\) 在这段时间的变化量 (非常重要！！！)
\[\Delta P = rP\Delta t\]
又根据
\[\Delta P = -\Delta C + \frac{\partial C}{\partial S}\Delta S = -\Delta t\left(\frac{\partial C}{\partial t} + \frac12 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}\sigma^2S^2 \right)\]
得
\[rP = -rC + rS \frac{\partial C}{\partial S} = -\frac{\partial C}{\partial t} - \frac12 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}\sigma^2S^2 \]
\[rC = rS \frac{\partial C}{\partial S} + \frac{\partial C}{\partial t} + \frac12 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}\sigma^2S^2\]
这就是 BS 的 PDE。
求解微分方程还需要边界条件。
\[C_T = \max{(S_T-K, 0)}\]
\[C_0 = 0\]
根据连续时间鞅论给出解
几何布朗运动GBM: \(dS_t = \mu S_tdt + \sigma S_t dW_t\) 的解 在上一章已经给出了
\[S_T = S_0 \exp{\left( \left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma W_t \right)}\]
股价 \(S_T\) 是几何布朗运动，服从分布 \[S_T \sim \ln \mathcal{N}(\ln{S_0} + (\mu-\sigma^2/2)T, \sigma^2T)\]
期望由漂移项决定，方差由扩散项也就是布朗运动项决定。
求解 \(C\) 即给欧式期权定价还需要对解的结构作一定假设。根据离散时间鞅论/风险中性定价理论，确定
\[C_t = e^{r(t-T)}E[\max{(S_T-K, 0)}] \]
已知结构和微分方程，就只需继续化简；当然，上式已经可以直接用来蒙特卡洛定价。
\[\begin{aligned} E[\max{(S_T-K, 0)}] &= E[S_T-K|S_T>K] \\ &= E[S_T|S_T>K] - KP(S_T>K) \end{aligned}\]
分别求解两部分
- \(P(S_T >K) = ?\)
\[\begin{aligned} P(S_T >K) &= P(\ln{S_T} > \ln K) \\ &= P(\frac{\ln{S_T} - \ln{S_0} - (\mu - \sigma^2 /2)T}{\sigma \sqrt T} >\frac{\ln{K} - \ln{S_0} - (\mu - \sigma^2 /2)T}{\sigma \sqrt T} ) \\ &= N \left( \frac{\ln{(S_0/K)} + (\mu - \sigma^2 /2)T}{\sigma \sqrt T} \right) \\ &= N(d_2) \end{aligned}\]
- \(E[S_T|S_T>K] = ?\)
假设一个 \(X\sim \ln \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\)，
推导对数正态分布的密度函数，方法是cdf求导；记\(Z = \ln X \sim N(\mu, \sigma^2)\)， \[F_X(x) = F_Z(\ln x)\] \[f_X(x) = F_X'(x) = \frac{\partial F_z}{\partial x}(\ln x) = F_Z'(\ln x)\cdot \frac1x = f_Z(\ln x)\cdot \frac1x\] 于是得到对数正态分布的pdf \[f(x) = \frac1{\sqrt{2\pi}\sigma x} e^{-\frac{(\ln{x} - \mu)^2}{2\sigma^2}}\]
\[\begin{aligned} E[X|X>K] &= \int_K^\infty \frac{x}{\sigma x \sqrt{2\pi}} \exp{\left( -\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)}dx \qquad \text{Let } \frac{\ln x - \mu}{\sigma} = v \geq \frac{\ln K - \mu}{\sigma} = D, x = e^{\mu+\sigma v}, \frac{dv}{dx} = \frac1x \\ &= \frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_D^\infty e^{-r^2/2} e^{\mu+\sigma v} dv\\ &= \frac 1{\sqrt{2\pi}} e^{\mu + \sigma^2/2} \int_D^\infty e^{-\frac12 (v-\sigma)^2}dv\\ &= e^{\mu + \sigma^2/2} \int_{D-\sigma}^\infty \frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac12 u^2}du \\ &= e^{\mu + \sigma^2/2} N(\sigma-D) \end{aligned}\]
由于
\[S_T \sim \ln \mathcal{N}(\ln{S_0} + (\mu-\sigma^2/2)T, \sigma^2T)\]
将\(\mu\) 替换为 \(\ln{S_0}+\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)T\)， \(\sigma\) 替换为 \(\sigma \sqrt T\)
\[D = \frac{\ln K - \mu}{\sigma} \to =\frac{\ln K - \ln S_0 - \left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt T} = -d_2\]
则
\[E[X|X>K] = S_0 e^{\mu T} N(\sigma\sqrt T-D) = S_0 e^{\mu T}N(d_1) \]
其中， \(d_1 = \sigma \sqrt T + d_2\)。
综上，
\[\begin{aligned} C_t &= e^{r(t-T)}E[\max{(S_T-K, 0)}] \\ &= e^{r(t-T)} \big(E[S_T|S_T>K] - KP(S_T>K) \big) \\ &= e^{r(t-T)} \big(S_0 e^{\mu T}N(d_1) - KN(d_2) \big) \qquad \text{By } r=\mu \\ &= S_tN(d_1) - Ke^{r(t-T)}N(d_2) \end{aligned}\]
其中
\[d_2 =\frac{\ln{(S_0/K)} + (r - \sigma^2 /2)T}{\sigma \sqrt T} \qquad \text{replaced } \mu \to r\]
\[d_1 = \sigma \sqrt T + d_2\]
有付息时的定价
首先明确， \(r\) 是现金的也就是所有资产的真实回报率；\(\mu\) 反映的是该股票价格 GBM 的漂移系数。对于该有分红股票，其连续复利收益率应当使用 \(\mu = r-q\)。
\[d_2 =\frac{\ln{(S_0/K)} + (r-q - \sigma^2 /2)T}{\sigma \sqrt T}\]
\[d_1 = \sigma \sqrt T + d_2\]
$$ \[\begin{aligned} C_t &= e^{r(t-T)} \big(S_0 e^{(r-q) T}N(d_1) - KN(d_2) \big) \qquad \text{By } r-q=\mu \\ &= S_0e^{rt-qT} N(d_1) - e^{r(t-T)}KN(d_2) \\ &= S_t e^{rt-qT - (r-q)t} N(d_1) - e^{r(t-T)}KN(d_2) \\ &= S_t e^{q(t-T)} N(d_1) - e^{r(t-T)}KN(d_2) \end{aligned}\]$$
\(d_1\) 和 \(d_2\) 的另一种表达
根据几何布朗运动 GBM 的定义
\[S_T \sim \ln \mathcal{N}(\ln{S_0} + (\mu-\sigma^2/2)T, \sigma^2T)\]
则也可以从 \(t\) 时刻开始，写为
\[S_T \sim \ln \mathcal{N}(\ln{S_t} + (\mu-\sigma^2/2)(T-t), \sigma^2(T-t)))\]
对应的 \(d_2\) 可以写为
\[d_2 = \frac{\ln{(S_t/K)} + (\mu - \sigma^2 /2)(T-t)}{\sigma \sqrt {(T-t)}} \]
\[d_1 = \sigma \sqrt{(T-t)} + d_2\]
这种表达方式和以 \(0\) 时刻为起点的表达式是等价的。
希腊值 The Greeks
期权平价公式
\[e^{-rT}K + C_0 = e^{-qT}S + P_0 = \max{(S_T, K)}\]
Vega and Gamma of call/put are equal.
Definition of the Greeks
...
Delta-Gamma-Vega Hedging
YTM 固定时，不考虑 \(\Theta\)
\[C = C(S, \sigma)\]
\[\begin{aligned} dC &= \frac{\partial C}{\partial S}dS + \frac12 \frac{\partial^2 C}{\partial S^2}(dS)^2 + \frac{\partial C}{\partial \sigma} d\sigma \\ &= \Delta dS + \frac12 \Gamma (dS)^2 + V d\sigma \end{aligned}\]
举例
| S | 980 | 1000 |
|---|---|---|
| \(C(K=1000)\) | 12 | ? |
| \(\sigma\) | 15% | 14% |
| \(T\) | 14 | |
| \(\Delta\) | 40 | |
| \(\Theta\) | 0.2 | |
| \(Vega\) | 0.1 | |
| \(\Gamma\) | 0.5 |
假设标的资产价格从 980 增加到 1000， \(\Delta S = 20\)
首先，对于 \(\Delta\)，其增加
\[\Delta S \cdot \Gamma = 20 \times 0.5 = 10\]
所以 \(S=1000\) 对应的 \(\Delta = 50\)。
然后计算期权价格由于资产价格变动引起的期权价格变动。
\[\Delta C = \bar\Delta \cdot \Delta S = 45\% \times 20 = 9\]
使用 Delta-Gamma-Vega approximation 时，Delta 和 Gamma 引起的变动为 \[20\times 40\% + \frac12 \times 20^2 \times 0.5\% = 9 \]
计算 \(\Theta\) 和 YTM 变动引起的期权价值衰减
\[- 0.2 \times 14 = -2.8\]
计算隐含波动率变化引起的期权价格变动。这里 \(Vega\) 值默认波动率去掉百分号表示。
\[-1 \times 0.1 = -0.1\]
几部分相加，总的期权价格变动为
\[9 - 2.8 -0.1 = 6.1\]
新的期权价格是 \(18.1\)。
Delta 对冲
推导BS微分方程时，通过Delta对冲消除了布朗运动项，构造了一个组合 \[ P = \frac{\partial C}{\partial S} S - C\]
这个组合根据鞅定价理论
\[\frac{dP}{P} = rdt\]
实际情况下无法连续地 Delta 对冲。 股价是连续变化的，而复制的时间点是离散的，因而产生复制误差 (replication error)。
根据先前推导BS公式时的方法，换一下记号，记Delta-对冲后的，不含布朗运动的组合 \(Q\) 为
\[Q = C - \delta S\]
将这个组合离散化，\(Q\) 根据连续复利的理论，利率为 \(r\); 持有的标的资产 \(\delta S\) 在持有期 \(\Delta t\) 的变化量考虑价格变动 + 派息。
\[rQ\Delta t = \Delta Q = \Delta C - \delta_{t_i} [(S_{t_{i+1}} - S_{t_i}) + qS_{t_i}\Delta t]\]
\[\begin{aligned} \Delta C &= rQ\Delta t + \delta_{t_i} [(S_{t_{i+1}} - S_{t_i}) + qS_{t_i}\Delta t] \\ &= r\Delta t(C - \delta S) + \delta_{t_i} [(S_{t_{i+1}} - S_{t_i}) + qS_{t_i}\Delta t] \end{aligned}\]
因而在离散时间复制期权 \(C\) 的 self-financing 的策略 \(P\) (注意，这里的 \(P\) 是 \(C\) 的复制，与上文表示不同) 可以表示为:
\[P_0 := C_0\]
\[P_{t_{i+1}} = P_{t_i} + (P_{t_i} - \delta S_{t_i})r\Delta t + \delta_{t_i} [(S_{t_{i+1}} - S_{t_i}) + qS_{t_i}\Delta t]\]
股价 \(S_t\) 服从 GBM (记 \(Z \sim N(0,1)\)):
\[S_{T} = S_t e^{(\mu - \frac{\sigma^2}2)(T-t) + \sigma\sqrt{T-t} Z}\]
我们感兴趣的是，在 \(T\) 时刻，这个间断地对冲的复制组合和实际的期权之间的gap是多少。
\[P\& L = P_T - (S_T - K)^+\]
间断性地 Delta-对冲的盈亏分析
需要注意这里有几类波动性。
间断地进行对冲，\(T\) 时刻标的资产在上一次对冲时的 \(\sigma\) 叫realized volatility，因为是以这个 \(\sigma\) 定价并卖出的；
期权隐含波动率 option implied volatility \(\sigma_{imp}\)。
- 当 \(\sigma < \sigma_{imp}\) 时，期权的实际价值在上一次对冲后增加，卖出是赚的。
- 反之则亏。
给出结论：连续 Delta 对冲的 P&L 满足
\[ P\& L = \int_0^T \frac{S_t^2}{2} \frac{\partial^2 V_t}{\partial S^2} (\sigma_{imp}^2 - \sigma_t^2)dt \]
\(V_t\) 是 t 时刻期权的价值， \(\sigma_t\) 是 realized volatility。
\(\frac{S_t^2}{2} \frac{\partial^2 V_t}{\partial S^2}\) 被称为 dollar gamma，满足二次微分形式，本质上就是 \(\Gamma\) 引起的期权价值变动。
